Основные операторы дробного дифференцирования

Для рассмотрения понятия дробной производной нам необходимо ввести определение интеграла дробного порядка. Перед введением понятий интегралов и производных дробного порядка напомним, что многократный интеграл последовательным применением правил Дирихле, сводится к однократному (Формула Коши):

 

 
 
 
(1)

 

В левой части формулы (1) у нас имеется n-кратное интегрирование. Замена факториала Гамма-функцией (n-1)!= Г (n) позволяет продолжить выражение (1) в область нецелых (и даже комплексных) показателей n. Поэтому естественно определить интеграл дробного порядка α следующим образом:

.

 
 
 
(2)

Он называется дробным интегралом Римана-Лиувилля. Аналогично определению интегралов можно ввести и производные дробного порядка Римана-Лиувилля:

.

 
 
(3)

Эта формула справедлива для 1<α<2. Более общая формула имеет вид:

,  где        n=[α]+1 ([α] – целая часть α);         (4)


    , где n=[α]+1.

Отсюда видно, что дробную производную можно представить в виде интеграла целого порядка. Это значительно упрощает расчеты.

 

Уравнения Фредгольма 2-го рода

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

(5)

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству:

, а ядро и свободный член должны быть непрерывными:
, либо удовлетворять условиям:


(6)

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если 

на
 
, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.
Уравнения Фредгольма 1-го рода

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят также,  как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

(7)

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерра 2-го рода

Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

(8)
Уравнения Вольтерра 1-го рода

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерра 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

(9)

В принципе, уравнения Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

(10)

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерра не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Операторы Кобера-Эрдейи.

При исследовании парных интегральных уравнений и в других приложениях широко применяются следующие модификации интегралов и модификаций Римана-Лиувилля:

(11)

(12)

(13)


(14)

 

где 0≤a<x<b≤∞ при произвольных действительных σ или -∞≤a<x<b≤∞ при целых σ. В частности, при а=0, b=+∞ и σ=1 интегралы (11) и (13) принимают вид

 

(15)


(16)

 

Операторы (11) и (13) при а=0 и b=+∞ называют операторами Эрдейи, а (15) и (16) – операторами Кобера (или Кобера-Эрдейи). В связи с этим операторы (11)-(14) естественно назвать операторами типа Эрдейи-Кобера.

 

Операторы Сайго.

Для действительных α (α ≠0), β, η € R обобщенные дробные интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса F(a; b; c; z) определяются для x € (0; 1) следующим образом:

(17)


(18)


(19)


(20)

 

Если β = -α, то операторы (17)-(20) сводятся к дробным интегралам и производным Римана-Лиувилля.

 

 

Гипергеометрическая функция (Гаусса) определяется внутри круга | z | < 1 рядом

(21)

а при | z | > 1 получается аналитическим продолжением этого ряда.

 

Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов дифференциального уравнения

(22)

 

Данное уравнение иногда называется гипергеометрическим.

Второе линейно независимое решение этого уравнения имеет вид

(23)

Оно имеет особую точку при z = 0.

 

Интегральное представление гипергеометрической функции при γ − α − β > 0 может быть записано следующим образом:

 


(24)

 

Примеры для элементарных функций:

(1 + x)n = F( − n,β,β; − x)

xn = F( − n,β,β;1 − x)


Comments