Уравнениями смешанного типа называются уравнения, которые в одной части рассматриваемой области принадлежит эллиптическому типу, а в другой - гиперболическому; эти части разделены линией (или поверхностью) перехода, на которой уравнение либо вырождается в параболическое, либо не определено.

Уравнение смешанного типа в общем виде можно записать как:

Уравнениями теплопроводности называются дифференциальные уравнения с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности. Уравнение теплопроводности  выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды У. т. имеет вид:

где       r — плотность среды;

c_v — теплоёмкость среды при постоянном объёме;

t — время;

х, у, z — координаты;

Т = Т (х, у, z, t) — температура, которая вычисляется при помощи У.т..;

l — коэффициент теплопроводности;

F = F (x, y, z, t) — заданная плотность тепловых источников.

Величины r, C_v, l зависят от координат и, вообще говоря, от температуры.

 

Для анизотропной среды У. т. вместо l содержит тензор теплопроводности l_ir, где i, k = 1, 2, 3.

 

В случае изотропной однородной среды У. т. принимает вид:

где       DT — оператор Лапласа,

 a² = l/(rc_v) — коэффициент температуропроводности;

f = F/(rc_v).

 

В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, У. т. переходит в уравнение Пуассона:

DТ = f/a² = F/l            (4)

или, при отсутствии источников теплоты, в уравнение Лапласа

DТ = 0.           (5)

Основными задачами для У. т. является задача Коши и смешанная краевая задача.

 

Уравнением влагопереноса называется уравнение смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением дробной диффузии, в нижней – уравнением влагопереноса в ограниченных областях.

В 1965 году это уравнение было получено известным теплофизиком А. В. Лыковым методами термодинамики необратимых процессов для плотности потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле поликапиллярной структуры:

 где      q = q(ξ1, t) – одномерный поток влаги с коэффициентом диффузии

D = const в коллоидном капиллярно-пористом теле 0 ≤ ξ1 < ∞ поликапиллярной структуры в точке ξ1 > 0 в момент времени t.

 

Это уравнение моделирует процесс распространения потока влаги в полубесконечном теле в рамках гиперболического закона влагопереноса. Тот факт, что оно, будучи уравнением гиперболического типа при ξ1 > 0, параболически вырождается при ξ1 = 0, говорит о том, что сильно пористые структуры имеют фрактальную природу.

 

 

Арланова А. Ю.

«Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов»

 

Рассматривается уравнение влагопереноса:

в характеристической области D, ограниченной интервалом J = (0; 1) и характеристиками данного уравнения 

и

.

За 

принимаются точки пересечения характеристик уравнения (7), выходящих из

произвольной точки x € (0; 1), с характеристиками AC и BC соответственно.

Формулируется задача 1.

Задача 1. Найти функцию

, удовлетворяющую

уравнению (7) при ‌‌‌ в области D и краевым условиям

 

где

—заданные гладкие функции,α₁, α₂,β₂ —заданные константы, на которые в дальнейшем будут наложены необходимые условия.

Новизна постановки заключается в том, что в задаче рассматриваются все возможные вариации значений функций и констант, входящих в краевые условия, а сами условия содержат операторы Кобера–Эрдейи и М. Сайго.

Нахушева Виктория Адамовна

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЛОКАЛЬНЫХФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В СРЕДАХ С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ»

 

Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью, аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения. В частности, изучение свойств капиллярнопористых сред, обладающих фрактальной структурой, требует разработки новых математических технологий, решений ряда фундаментальных проблем, которые практически не поддаются теоретическому исследованию стандартными методами статистической физики. Эти проблемы приводят к принципиально новым начальным, краевым и смешанным задачам для фрактальных дифференциальных уравнений и уравнений смешанного типа первого и второго рода.

Глава II посвящена качественным свойствам базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процессов, краевым задачам для основных типов уравнений переноса. В 2.1 рассматривается уравнение Лыкова:

 

  , a₀=const                                (9)

 

 

где       q = q(x, t) – одномерный поток влаги с коэффициентом диффузии

D = const в коллоидном капиллярно-пористом теле 0 ≤ x < ∞ поликапиллярной структуры в точке x > 0 в момент времени t. Это уравнение моделирует процесс распространения потока влаги в полубесконечном теле в рамках гиперболического закона влагопереноса. Тот факт, что оно, будучи уравнением гиперболического типа при x > 0, параболически вырождается при x = 0, говорит о том, что сильно пористые структуры имеют фрактальную природу.

В разделе 2.1 дано обоснование некорректности задачи А.В. Лыкова о нахождении решения q уравнения (9), удовлетворяющего условиям:

и найдена конструктивная формула решения этой задачи в уточненной постановке через гипергеометрические функции; в рамках модели (9) для уравнения Бицадзе-Лыкова

 

            Решена смешанная задача

,   

               (12)

 

Где

, t₀ – характерное время.